問 題
図のような ∠A = 30°、∠B = 105°、∠C = 45°、AB = 8 の三角形 ABC において、外接円の半径はいくらか。
解 説
三角形の外接円の半径 R に関して、三角形の各辺を a,b,c とおき、辺と向かい合う角を A,B,C とおけば「a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R」です。これが基礎知識です。
本問では、∠C と向かい合う辺の長さ８に注目すれば、8/sin45° = 2R が成り立ちます。sin 45° = √2/2 なので、以下のように計算して、R = 4√2 です。
以上より、正解は 3 です。
【別解：選択肢の活用（２択までは絞れる）】
「a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R」を知らなかったり忘れても、１つでも選択肢を絞れるようにぜひ考えてみましょう。
まず、図を見ると、外接円の半径は「AB の長さ８よりは小さい」と判断できるのではないでしょうか。選択肢 5 は「６√２」とあるのですが、√2 が 大体 1.4 なので、6 √2 は 8.4 ぐらいの数です。すると８を超えているので、選択肢 5 は明らかに誤りです。
さらに、三角形で 105 °、30° が出てきたら「105° を 60° と 45° に分けてみる」のはよくある手法です。以下のように点 B から AC に向け 補助線を引きます。
すると、⊿ ADB に注目すれば、30,60,90° の直角三角形になるため、辺の比が 1:2:√3 です。これにより BD = 4、AD = 4 √3 とわかります。
BD は円の半径より少し短い印象を受けるのではないでしょうか。また、AD は円の半径より少し長そうに見えると思われます。従って、求める円の半径は 4 ~ 4 √3 の間です。選択肢 1,2 は誤りです。これで選択肢 3 or 4 まで絞れました。
正解が１つに決めれるわけではないのですが、すぱっと解けなくても、１つでも選択肢を消すことができないか、ぜひ考えてみてください！
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