2020年 国家一般職(高卒 技術) No.2 数学　解説

　問 題　　　　　

2 次方程式 x² – 2ax + 4 = 0 が、ただ一つの実数解（重解）をもつような正の定数 a はいくらか。

1． 1
2． 2
3． 3
4． 4
5． 5

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

「ただ一つの実数解（重解）を持つ」とは、y = x² – 2ax + 4 ・・・ (1) のグラフと y = 0 のグラフの交点が  ただ一つあるということです。

y = 0 とは x 軸に他なりません。すると、(1) のグラフの頂点の y 座標が 0 であれば、交点がただ一つとなります（類題 H28no1 2 次方程式が２つの実数解を持つ条件）。

二次関数の頂点の軸は y = ax² + bx + c において、x = ーb/2a です。これは基礎知識です。（平方完成で求めても OK です）

y = x² – 2ax + 4 の頂点の x 座標は、軸の公式より ー（-2a/2） = a です。（これは y = (x-a)² -a2 +4 と変形して見つけてもかまいません）

頂点の x 座標である「x = a」を（１）に代入すれば、y = 4 – a² です。y = 0 となるのは、0 = 4 – a² となる場合です。方程式を解けば a = ± 2 の時です。問題文より「a は正の定数」なので、a = 2 と決まります。

以上より、正解は 2 です。