国家公務員総合職（化学・生物・薬学）R1年 問1解説

　問 題　　　　　

3 乗すると 16 +16i になる複素数を z とするとき z・z の値はいくらか。
ただし、i は虚数単位，z は z と共役な複素数とする。

1． 8
2． 9
3． 10
4． 11
5． 12

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

z³ = 16+16i です。複素数で何乗ときたら、極形式表現で考えます。極形式表現とは、複素数を r (cosθ + isinθ）という形で表すことです。この形にすると、複素数同士の掛け算は、r の部分を書けて、θ の部分を足せば OK となります。
例）2(cos30° + isin30°）× 3(cos45° + isin45°)
= 2×3 (cos 75° + isin 75°）です。 

共役な複素数は、虚部の符号がマイナスになったということなので、ある複素数が r (cosθ + isinθ）であれば、r(cos(-θ) + isin(-θ)) と表されます。

重要な知識がド・モアブルの定理です。
(cosθ + isinθ）ⁿ = cos nθ + isin nθ という恒等式です。これらをふまえ、本問を考えます。

z³ = 16(1+i) ← ひとまず 共通因数 16 でくくっている。
=16√2(1/√2 + i/√2)  ← ( ) の中身を cos,sin になるようにしている。
=16√2(cos 45° + sin 45°)

となります。

「3 乗したら 16√2 になる数」というのが少し表しにくいので、16√2 = 2⁴ × 2^1/2 = 2^9/2 と表します。こうすることで「3 乗したら 2^9/2 → 2^3/2」です。

従って
z = 2^3/2 (cos 15° + isin 15°） です。
また、z = 2^3/2 (cos (-15°) + isin (-15°)） です。

z・z = (2^3/2)² (cos 0° + isin 0°）
=2³ × 1 
= 8 となります。

以上より、正解は 1 です。