国家公務員総合職（化学・生物・薬学）H28年 問12解説

　問 題　　　　　

x は t の関数であり、微分方程式 

及び初期値 x(0) = N を満たす。このとき

として最も妥当なのはどれか。

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

具体的に考えます。

まず
ーdx/dt = (a+b)x -bN ・・・(1) と変形します。
するとこの式は「x を t で微分すると、x の定数倍に定数を加えたもの」と読み変えることができます。『微分したのに定数倍』ということから e^ct を項に含むと考えます。※ c は定数です。

ひとまず、x = e^ct とおいてみます。-dx/dt = -ce^ct となります。(1) の右辺と比較すると a+b = -c かつ、-bN = 0 となります。しかし b,N は共に正の定数なので、これを満たす b,N は見つかりません。

そこで、x = e^ct + d とおきます。-dx/dt = -ce^ct という微分した結果は変わりません。(1) の右辺を見ると (a+b)(e^ct + d) -bN です。展開すると (a+b)e^ct +d(a+b) -bN です。係数を比較すれば a+b = -c です。これを代入して定数項を係数比較すれば -cd -bN = 0 ・・・（２）となります。

求めたいのは、x(t) の t が無限大にとんだ時の値でした。まず a+b = -c なので c = -(a+b) です。a,b は正なので、c は負となります。これにより  e^ct の部分は t が無限大の時 0 に収束するとわかります。残るのは d です。

（２）の式を d について解けば d = ーbN/c です。そして、c = -(a+b) でした。代入すれば d = bN/(a+b) です。これが求める極限です。

以上より、正解は 5 です。