場合の数、順列、組合せ

場合の数は
サイコロの目の出方（1,2,3,4,5,6 の６通り）のように、ある事柄の起こりうる総数のことです。2 つのサイコロをふれば (1,1),(1,2)…(6.6) まで 36 通りとなります。

順列は
『何個かの物からいくつかの物を取り出して並べる』場合の数 です。例として 1,2,3 という３個のものから 2 つとって並べる　という事柄を考えます。すると 1,2、1,3、2,1、2,3、3,1、3,2　という 6 通りとなります。 「n 個から r 個とって並べる」ことを nPr と表します。

組み合わせは
『何個かの物からいくつかの物を選ぶ』 場合の数です。例として 1,2,3 という 3 個のものから 2 つ選ぶ　という事柄を考えます。ここで重要なのは「組み合わせ」なので 1,2 をとった場合と 2,1 をとった場合は同じ組み合わせとなる、という点です。すると 1,2、1,3、2,3 の 3 通りとなります。「n 個から r 個選ぶ」ことを nCr と表します。

nPr、及び nCr について
簡単な計算で求める公式について補足します。

nPr は
「大きい方の n から n-r+1まで、1 ずつ数値を減らしつつ並べて、ばーっとかけたら終わり」です。先程の例の ₃P₂ では、n が 3、n-r + 1 が 2 なので、3×2 = 6 通りです。

もう少し大きい例として ₂₀P₃ を考えてみましょう。n が 20、n-r + 1 が 18 なので、20 × 19 × 18 = 6840 通りが答えです。

nCr は
「n! を分子に、r! と(n-r)!を分母において計算」です。「数字！」は、「数字から１つずつ数を減らしつつ 1 になるまで並べて、ばーっとかける」という計算を表します。先程の例の ₃C₂ では、n が3、r が 2、n-r が 1なので、3!/2!1! = 3×2×1/2×1×1 = 3 通りです。

もう少し大きい例として₂₀C₃ を考えてみましょう。n が 20、r が 3、n-r が 17 なので、20!/17!3! です。 分子の …17×16×… の部分は分子の 17! と約分されて消えるので、結局 20×19×18/3×2×1 = 1140 通りです。