国家公務員総合職（化学・生物・薬学）R2年 問1解説

　問 題　　　　　

はいくらか。ただし，i を虚数単位とする。

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

(cos θ + isin θ)ⁿ の形が見えるので ド・モアブルの定理 を思い出します。

まず、分子の ◯ 乗 部分を、ド・モアブルの定理で
(cos 4α + isin 4α)(cos 9α + isin 9α) となおせます。

それぞれの項を改めて (cos θ + isin θ)ⁿ　の形になおせば
(cos α + isin α)⁴(cos α + isin α)⁹
=(cos α + isin α)¹³　と、分子をすっきりさせることができます。

与えられた式は
分子が (cos α + isin α)¹³
分母が  cos α + isin α　なので、約分すれば
(cos α + isin α)¹² です。

ド・モアブルの定理で
cos 12α + isin 12α　と表せます。

α = π/12 なので、12α = π です。π は 180° のことです。
cos 180° = -1、sin 180° = 0 は基礎知識です。

従って
求める値は -1 ＋ 0 = -1 です。 

以上より、正解は 1 です。

類題 R1 no1 
https://yaku-tik.com/yakugaku/km-r1-01/