問 題
正の整数 a、b が 2a +3b = 102 を満たすとき、 ab の最大値はいくらか。
1． 408
2． 420
3． 432
4． 444
5． 456
正解．3
解 説
具体的に考えます。
a = 1 だと、3b = 100 で、b が整数なのでだめです。
a = 2 だと、3b = 98 で、b が整数なのでだめです。
a = 3 の時、3b = 96 → b = 32 で、ab = 93 です。a は 3 の倍数でないと、式を満たす b がありません。よって、次は a = 6 を考え、以降 a を 3 つずつ増やしていきます。
a = 6 → 3b = 90 → b = 30 → ab = 180 です。
a = 9 → 3b = 84 → b = 28 → ab = 252 です。このあたりで、b は 2 個ずつ減っていく規則性がわかります。以降は (a,b) の組を、a は 3つずつ増やす、b は 2つずつ減らしていって考えます。
(a,b) = (12,26) → ab = 312
(a,b) = (15,24) → ab = 360
(a,b) = (18,22) → ab = 396
(a,b) = (21,20) → ab = 420
(a,b) = (24,18) → ab = 432
(a,b) = (27,16) → ab = 432
(a,b) = (30,14) → ab = 420 です。後はだんだん ab は小さくなりそうです。
以上より、正解は 3 です。
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