問 題
非線形方程式の解を数値的に求める方法に関する次の記述の㋐～㋓に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。
「区間[a0，b0] において連続な関数 f(x) が与えられたとき， ㋐ を満たすなら区間[a0，b0] に f(x) =0となる解 x が少なくとも一つ存在する。この解のうちの一つを求めるため，以下のステップで計算を行う。
ステップ0 ： ㋐となるa0，b0 を見つけ，これらを初期値 ak，bk (k=0)とする。
ステップ1 ：ak，bk の中点 c = (ak+bk)/2 を求め，f(c) を計算する。
ステップ 2 ：も し ㋑ であれば，ak+1=ak，bk+1=c とおく。そうでなければ，ak+1=c，bk+1=bk とおく。
ステップ 3 ： |bk-ak| が十分小さければ， ㋒ を解として出力する。そうでなければ，k= k+ 1としてステップ1 に戻る。このように解を求める方法を㋓と呼ぶ。」
| / | ㋐ | ㋑ | ㋒ | ㋓ |
| 1. | f(a0)f(b0) > 0 | f(ak) f(c) > 0 | c | 2 分法 |
| 2. | f(a0)f(b0) > 0 | f(bk) f(c) > 0 | f(c) | 2 分法 |
| 3. | f(a0)f(b0) < 0 | f(ak) f(c) < 0 | c | 2 分法 |
| 4. | f(a0)f(b0) < 0 | f(ak) f(c) < 0 | f(c) | はさみうち法 |
| 5. | f(a0)f(b0) < 0 | f(bk) f(c) < 0 | c | はさみうち法 |
解 説
簡単な関数として、f(x) = x で考えるとわかりやすいと思われます。
x = 0 の時 f(x) = 0 となります。この「x = 0」を見つけるための手法として、ステップ０から考えていきます。㋐ですが、選択肢を見てみると、例えば区間として、[-1,2]を考えます。f(-1) = -1、f(2) = 2 なので、f(-1) × f(2) = -1 × 2 = -2 です。符号は負です。正解は 3~5 です。
次に、中点は 1/2 です。f(1/2) = 1/2 です。－１～２ではなく、－１～1/2 とする、ということで、０を含む区間が少し小さくなる、という流れと考えられます。 よって ㋑は f(-1) × f(1/2) < 0 で、b1 を 1/2 とする、ということだとわかります。正解は 3 or 4 です。そして、解は c と考えられます。
以上より、正解は 3 です。
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