公務員試験 H29年 国家一般職(教養) No.23解説

　問 題　　　　　

a² + ab + ac + bc -315 =0 を満たす素数 a，b，c の組合せは何通りか。ただし，a < b < c とする。

1． 1 通り
2． 3 通り
3． 5 通り
4． 7 通り
5． 9 通り

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

素数と来たら因数分解、すなわち掛け算の形にできないかを考えるのが定石です。与えられた式を文字だけ　と　数だけにまず分けてみます。

a² + ab + ac + bc = 315 です。

左辺は、展開公式なので (a+b)(a+c) と書き直せます。a < b < c なので、a + b < a + c です。右辺は 315 = 3² × 5 × 7 と素因数分解できます。

• a + b = 3 は無理です。素数は 2 からだからです。
• a + b = 5 は、a = 2, b = 3 で作れます。すると a + c が 63 ですが、c = 61 でOKです。
• a + b = 7 は、a = 2, b = 5 で作れます。すると a + c が 45 ですが、c = 43 でOKです。
• a + b = 9 は、a = 2, b = 7 で作れます。すると a + c が 35 です。 c = 33 となり、これは素数ではありません。
• a + b = 15 は、a = 2,b = 13 で作れます。すると、a + c が 21 です。c = 19 となり、これはOKです。

これ以上 a + b を大きくすると、 a + c の方が小さくなってしまいだめです。

以上より、(2,3,61),(2,5,43),(2,13,19)の３通りです。正解は 2 です。