問 題
ある経済の生産関数が
で示されるとする。
この経済における経済成長率（生産量の増加率）が 4 ％，全要素生産性の増加率が 1 ％ であるとき，⑴ 労働者一人当たり資本ストック量の増加率，及び ⑵ 労働投入量の増加率の組合せとして妥当なのは，次のうちではどれか。
⑴ ⑵
1． 1 ％ 1.5 ％
2． 2 ％ 1.75 ％
3． 2 ％ 2.0 ％
4． 3 ％ 2.25 ％
5． 3 ％ 2.5 ％
解 説
生産関数が Y = A Kα L1-α なので、新古典派の経済成長モデルと考えます。Y,A,K,L について「指標 X に対する成長率 ΔX/X」に注目した時、以下の関係が成り立ちます。これは基本知識です。
・経済成長率＝技術進歩率＋α × 資本成長率＋(1ーα) × 労働成長率
・ΔY/Y = ΔA/A + α × ΔK/K + (1-α) × ΔL/L （←式バージョン）
※技術進歩率は「全要素生産性の成長率」とも呼ばれます。
生産関数の両辺を L で割った式もよく用いられます。この時 Y/L は「１人当たり生産量」、K/L は「１人当たり資本」と呼びます。1人当たり資本 K/L を 改めて 小文字で 「k」とおくと、「１人当たり資本ストックの変化率」である Δk/k は、Δk/k = ΔK/K ー ΔL/L が成立します。これも基礎知識となります。
まず、成長率の式と、与えられた値から
４＝1 + 0.25 × ΔK/K + 0.75 × ΔL/L です。求めたいのが「一人当たり資本ストック量の増加率」、すなわち Δk/k なので、なんとかして「ΔK/K ー ΔL/L」を式から作り上げます。以下、ΔK/K ー ΔL/L を作るための式変形となります。
４＝1 + 0.25 × ΔK/K + 0.75 × ΔL/L 【整理した上で、両辺を 4 倍】
→１２ = ΔK/K + 3 × ΔL/L【両辺から ４×ΔL/L を引く】
→１２－４ΔL/L = ΔK/K ー ΔL/L です。右辺が「一人当たり資本ストック量の増加率」です。
選択肢との対応を合わせるため、左右を逆にします。
ΔK/K ー ΔL/L = １２－４ΔL/L となります。以下、選択肢を検討します。
選択肢 1 が正解とすると
左辺が 1、右辺が １２－４× 1.5 です。等式が成立しません。
選択肢 2 が正解とすると
左辺が 2、右辺が １２ー４× 1.75 です。等式が成立しません。
選択肢 3 が正解とすると
左辺が２、右辺が１２ー４× 2 です。等式が成立しません。
選択肢 4 が正解とすると
左辺が３、右辺が１２－４ × 2.25 です。これが正解です。
以上より、正解は 4 です。
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