問 題
自然長 L の、軽いばねの一端を天井に固定し、他端に小球をつるして静止させたところばねの長さは 3/2 Lになった。次に、同じ小球とばねを用いて、図のようにばねが常に鉛直線と角 θ をなすように、小球を水平面内で等速円運動させたとき、ばねの長さは 2L であった。このとき、小球の速さとして最も妥当なのはどれか。ただし、重力加速度の大きさを g とする。
正解 (3)
解 説
等速円運動ときたので「F遠心力=mrω2=mv2/r」を思い出します。
まず、小球の質量を m とおき下向きに mg の力がかかっているとします。次にばねについて考えます。ばねに普通に小球をつるして mg の力がかかると、自然長 L のばねが3/2 L になったとあります。つまり「mg で 1/2L 伸びて」います。今、ばねの長さは 2L で自然長に比べて L 伸びていることから「2mg の大きさ」だけ、ばね方向に力がかかっていることがわかります。以上より、力を書き込むと下図のようになります。
ばねの斜めの方向を、縦と横に分解して考えます。縦の力のつり合いを考えれば、ばね縦方向の力は mg です。すると横が √3mg で、辺の長さが １：２：√3 なので
「θ = 60°」とわかります。※ 問題文の図が全然違うので、図の見た感じとは一致しません。
また、これで等速円運動の半径は √3L とわかります。
横方向の力のつり合いに注目すれば
√3mg = mv2/√3L です。
m を消して両辺に√3かけると
3g = v2/L
∴ v2 = 3gL
∴ v = √3gL
以上より、正解は 3 です。
類題 H27no6
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