問 題
所得の全てをX財とY財に支出する,ある消費者の効用関数が次のように与えられているとする。
u =(2x + y)y (u:効用水準,x:X財の消費量,y:Y財の消費量)
X財の価格は 2 ,Y財の価格は 4 ,所得が 180 であるとき,この消費者の貨幣1 単位当たりの限界効用はいくらか。
1. 20
2. 30
3. 60
4. 120
5. 180
解 説
貨幣の限界効用は、効用が最大化されるような x,y 、すなわち均衡点において、限界効用を偏微分した関数に値を代入し、財の価格で割れば求まります。これは覚えておきましょう!
まず、効用が最大化される均衡点を求めます。所得が 180 なので、予算制約が 2x + 4y = 180 です。2x = 180 – 4y を、効用関数に代入します。
u = f(y)
= {(180 – 4y) + y}y
= -3y2 + 180y と表せます。
f’(y) = -6y + 180 です。
f’(y) = 0 となるのは、y = 30 の時です。
y = 30 とわかったため
2x + 4y = 180 より、x = 30 です。
効用が最大となる均衡点は (x,y) = (30,30) です。
均衡点がわかったので、次に効用関数を x で偏微分します。すなわち、x を文字(変数)とみなして微分します。y2 は、定数とみなすので、微分して0となります。以下のような式変形です。
du/dx
= d/dx (2xy + y2)
= 2y です。
2y に、均衡点における y、すなわち y = 30 を代入すると 60 です。偏微分した変数の価格、すなわち x の価格は 2 なので、60 ÷ 2 = 30 が、求めたかった貨幣の限界効用です。
以上より、正解は 2 です。
類題 H26no31
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