公務員試験 H27年 国家一般職(土木) No.6解説

　問 題　　　　　

y=Ae^－4x＋Be^3x(A、Bは0でない定数)の導関数及び2次導関数をそれぞれy’、y”とすると、これらが満たす方程式は次のうちどれか。

1. y”－4y’＋3y=0
2. y”－3y’＋4y=0
3. y”＋y’－12y=0
4. y”＋3y’－4y=0
5. y”＋4y’＋12y=0

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

微分方程式なので「特性方程式を解いて・・・公式がなんだったっけ・・・？」とまず考えるかもしれませんが、解き方を覚えている必要はありません。

y が与えられているので、y’,y’’ を計算した上で選択肢の左辺に代入して、０になったものが答えです。

（e^x）’ = e^x です。

また、合成関数の微分の公式より

(e^ax)’ = ae^ax となります。

y = Ae^－4x＋Be^3x　なので

y’ =-4Ae^－4x + 3Be^3x です。

y’’ = 16Ae^－4x + 9Be^3x です。

選択肢 1 の左辺に代入すると、

（16Ae^－4x + 9Be^3x）ー4 (-4Ae^－4x + 3Be^3x)+3(Ae^－4x＋Be^3x)
= 35Ae^－4x 

となり、０にはなりません。

同様に代入していけば、選択肢 3 の左辺に代入した時にちょうど０になります。

正解は 3 です。