公務員試験 2020年 国家一般職(行政) No.31解説

　問 題　　　　　

財 1 ，財 2 の二つの財が存在する完全競争市場を考える。財 1 の価格は 2 ，財 2 の価格は 3 である。合理的な消費者は以下の効用関数を持ち，効用水準を最大化するものとする。また，所得水準は 180 である。

u = x₁x₂　（u：効用水準，x₁：財 1 の消費量，x₂：財 2 の消費量）

このとき，政府が財 1 に 1 単位当たり 4 だけの間接税を課したときの効用水準を u_A とする。それに対して，間接税を課す代わりに，間接税で得られる税収と同額の税収が得られるように，この消費者に一定額の直接税を課した場合の効用水準を u_B とする。このとき，u_A と u_B の関係に関する次の記述のうち，妥当なのはどれか。

1．u_B は u_A より150 だけ大きい。
2．u_B は u_A より100 だけ大きい。
3．u_B は u_A より100 だけ小さい。
4．u_B は u_A より150 だけ小さい。
5．u_B は u_A と等しい。

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

所得が 180 なので、2x₁ + 3x₂ = 180 ・・・(1) です。これが予算制約です。
効用関数の式に、(1) を変形した x₁ = 90 – 3x₂/2  を代入して、効用関数を「２文字の式」→「１文字の式」にします。u = (90 – 3x₂/2) x₂ = -3/2 x₂² + 90x₂ です。

効用最大の時、この関数は、微分して 0 です。u’ = -3x₂ + 90 なので、u’ = 0 となるのは、x₂ = 30 の時です。（１）に代入して、x₁ = 45 とわかります。効用は 45 × 30 = 1350 です。

次に、u_A について考えます。
財１の値段が 4 上がったということなので、予算制約が 6x₁ + 3x₂ = 180 ・・・ (2) になるということです。先程と同様の式変形を行っていけば、u_A = (30 – x₂/2) x₂ = -1/2 x₂² + 30x₂ です。

効用最大の時、この関数は、微分して 0 です。u_A’ = -x₂ + 30 なので、u’ = 0 となるのは、x₂ = 30 の時です。（２）に代入して、x₁ = 15 とわかります。効用は 15 × 30 = 450 です。また、間接税による税収は、財１が１個売れるごとに４の税収なので、15 × 4 = 60 です。

最後に、u_B について考えます。
消費者に 60 の直接税を課すので、予算制約が 2x₁ + 3x₂ = 120 ・・・(3) になります。また同様の式変形により、u_B = (60 – 3x₂/2) x₂ = -3/2 x₂² + 60x₂ です。

効用最大の時、この関数は、微分して 0 です。u_B’ = -3x₂ + 60 なので、u’ = 0 となるのは、x₂ = 20 の時です。(3）に代入して、x₁ = 30 とわかります。効用は 30 × 20 = 600 です。

従って、u_A と u_B の関係は「u_B が u_A より 150 大きい」です。

以上より、正解は 1 です。