国家公務員総合職（化学・生物・薬学）R5年 問1解説

　問 題　　　　　

3 次方程式 f(x) = x³ – x² + 2ax² -5ax + 3a = 0 が 2 重解 (三つの解のうち二つのみが等しくなる解) をもつような、定数 a の取り得る値の総和はいくらか。

 

1．-2
2．-1
3． 0
4． 1
5． 2

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

３次方程式の解を求める必要があるので、まずは x に 0,±1…と代入して、0 になる値を探します。f(1) = 0 となるため、f(x) は「x – 1」を因数に持ち、3 つある解の 1 つは x = 1 です。

f(x) = (x – 1)(x² + 2ax -3a) と因数分解します。

①：(x² + 2ax -3a) の部分が x = 1 以外の重解を持つ場合を考えます。重解を持つのであれば (x + a)² です。定数項に注目すると -3a = a² でなければいけません。つまり、a = 0 or -3 です。

②：(x² + 2ax -3a) の解のうち 1 つが x = 1 である場合　を考えます。x = 1 を代入すれば、-a + 1 なので、これが 0 の時、a = 1 です。すると x² + 2x – 3 = (x + 3)(x -1) となるため、確かに これで 2 重解です。

①、② においてとりうる a は「0,-3,1」なので、足すと -2 です。

以上より、正解は 1 です。