国家公務員総合職（化学・生物・薬学）R4年 問12解説

　問 題　　　　　

f (x) は全ての実数 x に対して微分可能な関数である。 f (x) の導関数 f'(x) が f’ (0) = 0 を満たし、さらに、全ての実数 y、zに対して f (y-z) – f (y) f (z) = siny sinz を満たすとき、導関数 f’ (y) として正しいのはどれか。

1． -siny
2． sin y
3． 1 -cos y
4． -1 + cos y
5． sin 2y

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

選択肢 の活用がおすすめです。

選択肢 1 が正解とします。
f'(y) = -siny なら、f(y) = cosy です。

すると
与えられた恒等式の 左辺
f(y-z) – f(y)f(z)
= cos(y-z) – cosycosz
= cosycosz + sinysinz – cosycosz
= sinysinz
= 右辺となります。

左辺を変形していったら右辺になったので、全ての実数 y,z に対して与えられた恒等式が成り立ちます。

そして、f(x) = cosx は全ての実数 x に対して微分可能です。また、f'(0) = 0 も満たします。従って、問題文の設定と矛盾ないため、これが答えです。

以上より、正解は 1 です。