国家公務員総合職（化学・生物・薬学）R2年 問11解説

　問 題　　　　　

方程式 x⁴ + x² + 1 = 0 の相異なる 4 個の解を α，β，γ，δ とするとき、α⁴ + β⁴ + γ⁴ + δ⁴ はいくらか。

1．-2
2．-1
3．0
4．1
5．2

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

解と係数の関係の応用です。なんとか解きたい問題です。

【解と係数の関係】
方程式の左辺を
(x – α)(x – β)(x – γ)(x – δ) = 0 とおけば、左辺を展開すると
x⁴ -(α + β + γ + δ)x³ + (αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ)x² + (αβγ + αβδ + αγδ + βγδ)x + αβγδ です。

係数比較より
-(α + β + γ + δ) = 0…(1)
(αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ) = 1…(2)
(αβγ + αβδ + αγδ + βγδ) = 0
αβγδ = 1 とわかります。

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方程式に解 α を代入して変形すれば
α⁴ = -1 – α² です。β、γ、δ についても同様なので

α⁴ + β⁴ + γ⁴ + δ⁴
= (-1 – α²) + (-1 – β²) + (-1 – γ²) + (-1 – δ²)
= -4 -(α² + β² + γ² + δ²) となります。

α² + β² + γ² + δ²
= (α + β + γ + δ)² – 2(αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ) です。(1),(2) を代入すれば
α² + β² + γ² + δ² = -2 とわかります。

従って、α⁴ + β⁴ + γ⁴ + δ⁴
= -4 -(-2)
= -2 です。

以上より、正解は 1 です。