問 題
定滑車の回転に関する次の記述の ㋐、㋑ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。
「図のように、質量 m、半径 r、慣性モーメント I＝1/2 mr2 の定滑車に糸をかけ、その両端に質量 m、 2m の二つの小物体をそれぞれつるし、静かに放したときの定滑車の回転角加速度を求める。ただし、定滑車にかけた糸は滑らないものとし、重力加速度の大きさを g とする。
定滑車の回転角を θ、時間を t、小物体の加速度を a とすると、定滑車の回転運動に関する運動方程式は図の張力 T1、T2 (T1 > 0、T2 > 0) を用いて
で表され、また θ と a には
の関係がある。これらの式と小物体に関する運動方程式を整理し、さらに定滑車にかけた糸は滑らないことを考慮すると、d2θ/dt2 ＝ ㋑ と表される。」
解 説
慣性モーメントについては、回転角を θ、モーメントを M、慣性モーメントを Ｉ とおくと
が成立します。
モーメントの公式「M = F×d」より、定滑車のモーメントは T2 × r ー T1 × r = (T2 ー T1) × r です。正解は 1 ~ 3 です。
それぞれの小物体に注目すれば、運動方程式「F = ma」より、 T1 ー mg = ma、2mg ー T2 = 2ma という２式が作れます。この２式を、T1、T2 について解いておけば、T1 = ma + mg、T2 = 2mg ー 2ma です。問題文より、Ｉ=mr2/2 とある点に注意して、４式を並べると、以下のようになります。
一番上の式の T1、T2 を、下の２式を代入し、消去して整理すれば
a を消去した後に、d2θ/dt2 について解けば、以下のようになります。
以上より、正解は 1 です。
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