国家公務員総合職（化学・生物・薬学）H26年 問12解説

　問 題　　　　　

図のように、曲線 y = x²上の点P (a,a²) (a > 0) における接線と x 軸との交点を Q とする。原点を O として、∠OPQ ＝ θ とすると、tanθ の最大値はいくらか。なお必要ならば

を用いてよい。

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

点 P における接線の傾きは y’ = 2x より、2a です。点 (a,a²) を通るため、接線は y = 2ax – a² と表すことができます。そのため、x 軸との交点は、y = 0 を代入することで x = a/2 とわかります。

∠QOP = X とおきます。tanX = a です。また、tan(θ + X) = 2a と表すことができます。下図参照

必要ならば、と与えられた式の α = θ、β = X とおけば、左辺は、tan(θ + X) = 2a です。一方、右辺ですが tan X = a なので、(a + tanθ)/（1 ー a tanθ）です。

2a = (a + tanθ)/（1 ー a tanθ）を、tan θ について解けば、tan θ = a/(2a²+1) です。f(a) = a/(2a² + 1) とおき、a > 0 における最大値を求めればよいとわかります。

微分すれば、f’(a) = (2a²+1-4a²)/(2a² + 1)² = (-2a²+1)/(2a² + 1)²　なので、a = １/√2 の時に最大値です。tan θ = 1/(√2/2) = 1/2√2 = √2/4 です。

以上より、正解は 3 です。