赤玉 3 個と白玉 3 個が入った袋がある。この袋に対し、次のⅰ、ⅱからなる一連の操作を 2 回行ったとき、袋の中の赤玉の個数が 3 個となる確率はいくらか。

　解 説　　　　　

確率の定義は「該当する通り/全ての通り」です。

・1 回操作を行って、色違いの玉を取り出す確率について考えます。1 回の操作における全ての通りは、6 個の玉から 2 個玉を取り出す通りなので、₆C₂ = 15 通り です。

色違いの玉を取り出す通りは、赤 3 個から 1 個取り出し、白 3 個から 1 個取り出す通りなので、₃C₂ × ₃C₂ = 9 通りです。従って、「1 回操作を行って、色違いの玉を取り出す確率」は 9/15 = 3/5 です。

・1 回操作を行って、同じ色を取り出す確率について考えます。 「色違いの玉を取り出さない確率」といえるので、「1 – 3/5 = 2/5」です。

【パターン１：1 回目　色違いの玉】
1 回目に　色違いの玉を取り出した場合、袋の中の玉は 赤 3 個、白 3 個で変わりません。すると、2 回目の操作でも色違いの玉を取り出せば、袋の中の赤玉の個数は 3 個です。この確率は 3/5 × 3/5 = 9/25 と表すことが出来ます。

【パターン２：1 回目　色が同じ玉】
1 回目に　同じ色の玉を取り出した場合、袋の中の玉は どちらかの色の玉が 5 個、もう片方の色の玉が 1 個になります。すると、2 回目の操作でたくさんある方の色の玉を 2 個取った場合にのみ、元に戻って赤が 3 個になります。2 回目の操作でたくさんある方の色を 2 個取る確率は ₅C₂/₆C₂ = 10/15 = 2/3 です。従って、このパターンの確率は 2/5 × 2/3 = 4/15 となります。

求める確率は、パターン 1 ＋ パターン 2 です。
9/25 + 4/15
= (27+20)/75
= 47/75 です。

以上より、正解は 5 です。

軽いばねの一端を天井に固定し、ばねの他端に小物体を取り付けた。ばねが自然長でかつ鉛直になるよう、小物体を板で下から支え、この状態を初期状態とした。

初期状態から、板を鉛直方向にゆっくりと下げていったとき、ばねの自然長からの伸びの最大値は x₁ となった。また、初期状態に戻してから、板を瞬間的に取り除いたとき、ばねの自然長からの伸びの最大値は x₂ となった。このとき、 x₂/x₁ はおよそいくらか。

　解 説　　　　　

小物体の質量を m、ばね定数を k とします。

【初期状態からゆっくり下げていった x₁】
ゆっくりと小物体の重さでばねが伸びていき、ばねが x₁ 伸びたところで止まります。板を外しても止まっているイメージができるのではないでしょうか。

ばねが出てきたら、フックの法則を思い出します。F = kx₁ です。質量 m なので、下向き mg の力が作用します。そのため、mg = kx₁ ∴ x₁ = mg/k です。

【初期状態から板を瞬間的に取り除いた x₂】
小物体は単振動します。どの時点でも力学的エネルギー保存則が成り立ちます。位置エネルギーの基準を自然長の高さとします。

１：自然長の時の力学的エネルギー
位置エネルギー 0、運動エネルギーは静止しているので 0、ばねが自然長なので、弾性力による位置エネルギーも 0 です。和は 0 です。

２：x₂ 伸びた所の力学的エネルギー
位置エネルギーは -mgx₂、運動エネルギー 0、弾性力による位置エネルギー kx₂²/2 です。和は「-mgx₂ + kx₂²/2」…(1) です。

力学的エネルギーの和が変わらないので、(1) = 0 です。x₂ について解けば、x₂ = 2mg/k です。

従って
x₂/x₁
= (2mg/k)/(mg/k)
= 2 です。

以上より、正解は 4 です。

ヘンリーの法則によると、気体を溶質とする希薄溶液が気相と平衡にあるとき、気相における溶質の分圧 p_B は、溶質のモル分率 x_B = 溶質の物質量/溶液の物質量 に比例し、経験的に求められるヘンリー定数 K_B を用いて次の式で表される。

p_B = x_B × K_B

酸素と窒素が 1：4 で混合した 1.0 × 10⁵ Pa の空気中で、1.0 kg の水に溶存している窒素の質量として最も妥当なのはどれか。

ただし、窒素の水への溶解にはヘンリーの法則が成り立つものとし、K_B は 9.0 × 10⁹ Pa、窒素及び水のモル質量はそれぞれ 28 g・mol^-1、18 g・mol^-1 とする。また、水の蒸気圧、窒素以外の物質の溶存は無視できるものとする。

1． 8.9 mg
2． 14 mg
3． 17 mg
4． 32 mg
5． 46 mg

　解 説　　　　　

・混合気体の分圧は、物質量の比なので、酸素と窒素が 1 : 4 、全圧が 1.0 × 10⁵ Pa → 窒素の分圧は 0.8 × 10⁵ Pa です。窒素に注目した時、問題文で与えられた式における「p_B」が 0.8 × 10⁵ Pa です。すると、K_B も与えられているので、x_B がわかりました。計算過程は以下のようになります。

・問題文より、x_B = 溶質の物質量/溶液の物質量　です。溶液は 1.0kg の水 なので、溶液の物質量は 1000/18 mol です。これで x_B、溶液の物質量がわかったので「溶質 (窒素) の物質量」がわかります。単位を g に直すために さらに 28 をかければ、大体 14 mg とわかります。溶質の物質量を ? として、計算過程は以下の通りです。

10^-3 は「m (ミリ)」になおします。
すると、分子は 2240、分母が 162 なので、大体 14mg です。

以上より、正解は 2 です。

酢酸、酢酸ナトリウム及びそれらの混合液の pH に関する次の記述の ㋐、㋑ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。ただし、酢酸の酸解離定数 Ka は、Ka = 1.8 × 10^-5 mol・L^-1 (pKa = 4.7) とする。

「0.10 mol・L^-1 の酢酸水溶液の pH は、 ㋐である。一方、0.10 mol・L^-1 の酢酸ナトリウム水溶液の pH は、8.9 である。0.10 mol・L^-1 の酢酸水溶液と 0.10 mol・L^-1 の酢酸ナトリウム水溶液を、同体積混合すると、その水溶液の pH は、 ㋑ となる。」

　解 説　　　　　

弱酸 HA の電離による pH、弱塩基 B の電離による pH、弱酸と強塩基から生じた塩の pH、強酸と弱塩基から生じた塩の pHの 4 パターンについては、公式を覚えて対応するのがよいと思われます。

・弱酸 HA の電離による pH→［H⁺］＝√（Ka・C）

・弱塩基 B の電離による pH→［OH^–］＝√（Kb・C）なので、［H⁺］＝Kw／√（Kb・C）

・弱酸と強塩基から生じた塩の pH→ 弱塩基による電離と同じ。

・強酸と弱塩基から生じた塩の pH→ 弱酸による電離と同じ。 　となります。

※ 大前提となるのは Ka・Kb = Kw です。Kw とは、水のイオン積のことです。また、pH のように小文字の p を付けるのは「ーlog10」という意味です。

㋐ ですが
「弱酸 HA の電離による pH」のパターンです。公式に値を代入し、両辺 -log10 をとって計算します。以下のように計算をすすめると

pH が 3 より小さいと評価できるので、選択肢より pH = 2.9 です。正解は 1 or 2 です。

㋑ ですが
酢酸と酢酸ナトリウム、つまり弱酸とその塩なので緩衝溶液です。ヘンダーソン・ハッセルバルヒの式を思い出します。pH = pKa + log[A^– (イオン形)]/[HA (分子形)]…(1) です。

酢酸ナトリウムは完全に電離するので、イオン形が 0.1 mol/L です。酢酸はほぼ電離しないので、分子形を 0.1 mol/L とします。log1 = 0 なので (1) の log の項がなくなり「pH = pKa」 となります。つまり、pH = 4.7 です。

以上より、正解は 1 です。

類題 R1no4 弱塩基の pH
https://yaku-tik.com/yakugaku/km-r1-04/

分子式 C₄H₄O₄ の２価の不飽和カルボン酸には、シス型のマレイン酸とトランス型のフマル酸がある。共に無色の結晶であるが、物理的、化学的性質は大きく異なっている。マレイン酸、フマル酸に関する記述 ㋐、㋑、㋒ のうち、妥当なもののみを全て挙げているのはどれか。

㋐　水に対し、フマル酸は非常によく溶けるが、マレイン酸はほとんど溶けない。

㋑　これらの酸は 2 段階の酸解離が起こり、第 1 段階の酸解離定数は、フマル酸よりもマレイン酸の方が大きい。

㋒　エネルギー的にはフマル酸の方が安定であり、燃焼熱は、フマル酸よりもマレイン酸の方が大きい。

1．㋐
2．㋐、㋒
3．㋑
4．㋑、㋒
5．㋒

　解 説　　　　　

㋐ ですが
シス型のマレイン酸は極性分子、トランス型のフマル酸は無極性分子なので、極性の高い水によく溶けるのはマレイン酸です。㋐ は誤りです。

㋑ は妥当です。
フマル酸では分子間水素結合のため水素は電離しにくいのに対し、マレイン酸では第１電離によって生じた COO^－が、もう一つの COOH の H との間に分子内で水素結合を形成し安定化するためです。

㋒ は妥当です。
トランス型のフマル酸の方が安定です。

以上より、正解は 4 です。

MX₂ の化学組成で表される化合物の代表的な構造に、蛍石 (CaF₂) 型とルチル (TiO₂) 型がある。これらの構造に関する次の記述の ㋐ ～ ㋓ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「蛍石型の構造では、図Ⅰのように、陽イオンが面心立方格子を、陰イオンが単純立方格子をつくっている。陰イオンには 4 個の陽イオンが正四面体形に配位している。すなわち、陰イオンの配位数は 4 であり、また、陽イオンの配位数は ㋐ である。

ルチル型の構造では、図Ⅱのように、陽イオンが体心正方格子をつくり、陽イオンには、陰イオンが正八面体形に配位している。よって、陽イオンの配位数は ㋑ である。

イオンの配列を剛体球モデルに基づいて考える。陽イオンは陰イオンがつくる隙間に入ると考えられるが、陽イオンの半径が陰イオンに比べて小さ過ぎると、陰イオンどうしが接してしまい不安定となる。陽イオンが、周りの陰イオンと接触して入り得る限界のイオン半径の比（陽イオン/陰イオン）は ㋒ の方が大きい。これらのことから、陰イオンの半径に対して陽イオンの半径が比較的大きいときには、 ㋒ の構造を、小さくなると ㋓ の構造をとりやすいと予想される。」

　解 説　　　　　

㋐ ですが
例えば CaF₂ 型の単位格子を 2 個縦に並べて考えると、陽イオンの配位数は 8 です。正解は 3 ~ 5 です。

㋑ ですが
正八面体の頂点は 6 なので、㋑ は 6 です。正解は 3 or 4 です。

㋒ ですが
陽イオンの半径が陰イオンの半径と比較して大きい方が、陰イオン同士が離れるので、より多く配位できます。つまり、配位数が多い結晶構造は、限界イオン半径比が大きくなると考えられます。

これはやや広い部屋の中央に、小さなコタツを置いて猫がどばーっと入ってくると数匹でぶつかるイメージと、相当広いコタツを置いて猫がどばーっと入ってくるとかなりたくさんぶつからずに色んな所から入れるイメージで納得しやすいのではないかと思われます。コタツの大きさが陽イオンの半径を、集まってくる猫が陰イオンのイメージです。

㋐、㋑ より、陽イオンの配位数が多いのが蛍石型なので、㋒ は蛍石型と考えられます。

以上より、正解は 3 です。

類題 H28no28 金属塩化物の結晶
https://yaku-tik.com/yakugaku/km-28-28/

C₁₆H₃₂O₂ が呼吸に使われた場合の呼吸商はおよそいくらか。

1． 0.6
2． 0.7
3． 0.8
4． 0.9
5． 1.0

　解 説　　　　　

解法１
C₁₆H₃₂O₂ がパルミチン酸で脂肪酸の一種とわかれば、脂肪の一般的呼吸商から 0.7 と判断できます。

解法２
完全燃焼する時の化学式の右辺が 16CO₂ と 16H₂O となるので、左辺に O が 48 必要です。パルミチン酸の分子内に 2 個あるので、完全燃焼の化学式が「C₁₆H₃₂O₂  + 23O₂ → 16CO₂ + 16H₂O」です。すると、23 mol の酸素消費に対して 16 mol の二酸化炭素排出なので、16/23 ≒ 0.7 となります。

以上より、正解は 2 です。

類題 H29no7 呼吸商
https://yaku-tik.com/yakugaku/km-29-07/

ヒトの染色体の数は通常 2n = 46 であり、そのうちの 1 対は性染色体である。ヒトから生じる精子の染色体の組合せは何通りあるか。ただし、乗換えは起こらないものとする。

1． 2²² 通り
2． 2²³ 通り
3． 2⁴⁴ 通り
4． 2⁴⁵ 通り
5． 2⁴⁶ 通り

　解 説　　　　　

染色体 no1 from 父、染色体 no1 from 母　どちらかを選びます。
染色体 no2 from 父、染色体 no2 from 母　どちらかを選びます。
… というのを 23 回やることになるので

2²³ 通り　です。

以上より、正解は 2 です。

類題 H30no96 細胞分裂と染色体の基本数
https://yaku-tik.com/yakugaku/km-30-96/

ヒトの視覚に関する記述 ㋐ ～ ㋓ のうち、妥当なもののみを挙げているのはどれか。

㋐　網膜に存在する 2 種類の視細胞のうち、主に明るい場所で働き、色の識別に関与するのは錐体細胞である。

㋑　錐体細胞が集中している部分は黄斑と呼ばれ、視細胞が分布していない部分は盲斑と呼ばれる。

㋒　桿体細胞には、ビタミン D の一種であるレチナールと、タンパク質の一種であるカドヘリンから成るロドプシンが含まれる。

㋓　近くのものを見る場合は、毛様体筋が弛緩することでチン小帯が緊張し、水晶体の厚さが増す。

1．㋐、㋑
2．㋐、㋒
3．㋑、㋒
4．㋑、㋓
5．㋒、㋓

　解 説　　　　　

㋐ は妥当です。
錐体細胞についての記述です。

㋑ は妥当です。
黄斑と盲斑についての記述です。

㋒ ですが
ロドプシン ＝ レチナール ＋ オプシンです。カドヘリンではありません。㋒ は誤りです。

㋓ ですが
水晶体にチン小帯があり、チン小帯に毛様体がつながっています。毛様体が弛緩するとチン小帯が緊張します。そして、チン小帯が緊張すると水晶体が引っ張られるため、水晶体が「薄く」なります。「厚さが増す」わけではありません。㋓ は誤りです。

以上より、正解は 1 です。

類題 H29no86 ヒトの眼の遠近調節
https://yaku-tik.com/yakugaku/km-29-86/

植物ホルモンとその主な作用に関する次の表の ㋐，㋑，㋒ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

㋐ ですが
病原体に対する抵抗性とあるので「サリチル酸」です。

㋑ ですが
「光屈性」といえば「オーキシン」です。

㋒ ですが
「果実の成熟」と来たら「エチレン」です。

以上より、正解は 5 です。

類題 H28no10 植物の成長を調節する物質
https://yaku-tik.com/yakugaku/km-28-10/