国家公務員総合職（化学・生物・薬学）R3年 問11解説

　問 題　　　　　

次の記述の ㋐、㋑ に当てはまるものの組合せとして正しいのはどれか。

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

1 の 5 乗根は「x⁵ = 1」…(1) の解です。
x = 1 が解の 1 つですが、虚数ではありません。

x = 1 が解の 1 つであることから、(1) を変形して
x⁵ – 1 = 0 とすれば、左辺は (x – 1)(…) = 0 と変形できます。

左辺を x – 1 で割れば
(x – 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1) = 0 です。x ≠ 1 であれば、その解を ω とすると
ω⁴ + ω³ + ω² + ω + 1 = 0 となります。㋐ は 0 です。

1 + 2ω + 3ω² + 4ω³ + 5ω⁴ という式は、数字だけ見れば 1,2,3… と「1 ずつ増えて」います。等差数列です。文字部分は、初めを ω⁰ が掛けられているとすれば ω⁰、ω¹、ω²…と「ω をかけた分ずつ増えて」います。等比数列です。

『等差 × 等比 型の数列』では
１：まず和を S とおく
２：等比数列の公比 r をかけた rS を考える
３：S – rS に注目する　という流れが定石です。

本問では
S = 1 + 2ω + 3ω² + 4ω³ + 5ω⁴
ωS = ω + 2ω² + 3ω³ + 4 ω⁴ + 5 ※ ω⁵ = 1 に直しています。

S – ωS = 1 + ω + ω² + ω³ + ω⁴ – 5
（1 – ω)S = -5

∴ S = 5/(ω – 1) となります。㋑ は 5/(ω – 1) です。

以上より、正解は 3 です。