国家公務員総合職（化学・生物・薬学）R3年 問1解説

　問 題　　　　　

a = 1 – ³√5 のとき，a⁴ – 2 a³ + 9 a + 7 はいくらか。

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

【解法 1：選択肢の活用、具体的に考えて評価　現実的でおすすめ】

³√5 とは「3 乗したら 5 になる数」です。
1.6³ = 4.096 ≒ 4.1
1.7³ = 4.913 ≒ 4.9 なので、³√5 は、大体 1.7 とします。

すると選択肢は

1. 1
2. 5 – 2 × 1.7 = 1.6
3. 13 – 10 × 1.7 = -4
4. 21 – 10 × 1.7 = 4
5. 25 – 12 × 1.7 = 4.6 と評価できます。

a = 1 – 1.7 = -0.7 とします。
a² = (-0.7)² = 0.49 ≒ 0.5 です。(a²)² = a⁴ = 0.25
a³ = 0.5 × -0.7 = -0.35 となります。

これで　与えられた式は
a⁴ – 2 a³ + 9 a + 7
→ 0.25 -2 × (-0.35) + 9 × (-0.7) + 7
= 1.65 です。大体ですが 1.5 ~ 2 ぐらいと評価できました。

従って
選択肢から選べば 5 – 2 × ³√5 が妥当です。

以上より、正解は 2 です。

 

【解法２：式の変形で字数下げ】

a = 1 – ³√5 より a -1 = – ³√5
両辺を 3 乗して a³ -3a² + 3a -1 = -5
∴ a³ -3a² + 3a +4 = 0

(a⁴ – 2 a³ + 9 a + 7) ÷ (a³ -3a² + 3a +4) を計算すると
商が a + 1、余りが 2a + 3　

A ÷ B = Q…R の時、A = BQ + R なので
a⁴ – 2 a³ + 9 a + 7 = 0 × (a+1) + 2a + 3

右辺は計算すれば 2a + 3 となる。
結局、2a + 3 を求めればよい。

a = 1 – ³√5　を代入すれば
2 (1 – ³√5) + 3
= 5 – 2³√5

以上より、正解は 2 です。