公務員試験 H28年 国家一般職(土木) No.8解説

　問 題　　　　　

五つの選択肢の中から解答を一つ選ぶ問題が40題ある。

Aさんは20題は完璧に解答できたが、残りの問題は全然分からなかった。そのため、分からなかった問題については無作為に一つの選択肢を選んで解答した。

完璧に解答できた20題については全て正答であったとすると、Aさんが全体で25題以上正答する確率を表す式として正しいのはどれか。

ただし、各問題につき正答の選択肢は一つのみとする。

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

思いっきり今解いている公務員試験多肢試験についての問題ですね！本番で「何このメタな問題・・・」と話題になったのではないでしょうか。20 問確実に解けるってよく勉強してるなぁ。。。

本問は結局の所「ランダムに 5択を20問解いて5/20 以上取れる確率を求めよ」という問題です。

すると、5/20,6/20,7/20,,,20/20（！） までランダムで取れる可能性があるので、Σを使って表されています。

ランダムに５問正解するという場合を例に考えてみます。

「○○○○○☓☓☓☓☓☓☓☓☓☓☓☓☓☓☓」なら 5 問正解です。この確率は (⅕)⁵(⅘)¹⁵ と表せます。どの５問が偶然正解になるかという点に関して「20問中５問の選び方」は「₂₀C₅」 です。

以上より、「ランダムに５問正解する」確率は ₂₀C₅ (⅕)⁵(⅘)¹⁵です。（₂₀C₅ = 15504 なので、計算すると　大体 18% となります。）

以下、20問中 6 問なら ₂₀C₆ (⅕)⁶(⅘)¹⁴です。

20問中 k 問(kは 5~20)なら ₂₀Ck (⅕)k(⅘)20-k です。

k が５～２０までをすべて足せばよいので、 Σ₂₀C_k (⅕)^k(⅘)^20-k（kは 5~20）です。

以上より、正解は 5 です。

ちなみに、２０問ランダムで解いて１問も当たらない確率は(⅘)²⁰ ですが、これって計算してみると約 1% なんですね。100人に解いてもらうと1 人ぐらい出るとなると、意外にあるんだな・・・と驚きました！