公務員試験 H27年 国家一般職(高卒 基礎) No.21解説

　問 題　　　　　

２次方程式 x²－ 10x＋ m ＝ 0の一つの解が他の解の４倍であるとき、定数 m の値はいくらか。

1. 0
2. 2
3. 4
4. 8
5. 16

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

解法１：選択肢の活用

m = 0 とすると、 x²－ 10x ＝ 0　です。x = 0 が明らかに一つの解なので、他の解が 4 倍はありえません。よって、選択肢 1 は誤りです。

m = 2,4,8 とすると、解の公式を使わないと解けないため、きれいに４倍とは考えづらいです。

m = 16 とすると、 x²－ 10x + 16 = 0 → (x – 8)(x – 2) = 0 なので、x = 2,8 で４倍になっています。

解法 2：『 解を α、４αと置いて考える』

解を代入すると、式は成り立つので

α ²－ 10 α ＋ m ＝ 0
（４α）²－ 10 ×（４α）＋ m ＝ 0

という２つの式を作ることができる。未知の文字は α、ｍ の 2 つで、式も 2 つなので、解くことができるはず。

m を消去するために、「下の式ー上の式」を計算すれば 15 α² ー 30 α = 0 なので、α² ー2 α = 0 ∴ α = 0,2 αは０ではないはずなので、2 とわかる。するともうひとつの解が 4倍して 8 である。

元の式 x²－ 10x＋ m ＝ 0 に、2 もしくは 8 を代入すれば、m = １６とわかる。

以上より、正解は 5 です。