問 題
n を自然数とする。27！(27の階乗)が 3n で割り切れるとき n の最大値はいくらか。
1．9
2．11
3．13
4．15
5．17
正解 (3)
解 説
27! とは、27×26×・・・×3×2×1 のことです。「問題文にわけのわからない数が出てきた」というパターンなので「１：具体的な数で考える」、「２：選択肢の活用を考える」というアプローチで考えます。
まずは、n = 1 の時、3で割り切れるかと考えます。これは明らかに割り切れます。なぜなら 27 が33 だからです。そうすると、27×26×・・・の中に「3△」と直せる数字が何個あるかを考えれば、答えがわかりそうです。
次に、選択肢に注目すれば、せいぜい ９～１７個とわかります。すでに27 = 33 で３が３個みつかっているので後は順に考えていけばなんとかなりそうです。３の倍数に注目すればいいので27から考えて「27,24,21,18,15,12,9,6,3」の９つの数字に注目します。それぞれ、素因数分解した時 ３がいくつ含まれるかを考える「3,1,1,2,1,1,2,1,1」 です。全て足すと 13 個です。
以上より、正解は 3 です。
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