H27年 国家一般職(高卒 技術) No.2 数学　解説

　問 題　　　　　

２次関数 y = a²x² + 2ax ＋ 4 の最小値として正しいのはどれか。ただし a は定数で a ＞ 0 とする。

1. －1
2. 0
3. 1
4. 2
5. 3

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

いくつか解き方があるので、ピンとくるものから練習していくとよいです。公務員試験としては、解ければ OK です。

【平方完成】
x が含まれる項（本問では 「a²x²」、「2ax」）を、◯（ △＋□ ）²  の形にまとめあげる式変形を行って最小値を読み取る方法です。確実にどんな２次方程式に対してもできるようになりたい式変形です。

【微分】
y = (ax)² + 2ax + 4 と見て、ax = X とおきます。すると この式は
y = X² + 2X + 4 です。（これを平方完成して y = (X+1)² + 3 としてもよいです。）

微分して 0 になる X を見つけてみます。
y’ = 2X + 2 なので、X = -1 の時、y’ = 0 で最小値です。X = -1 を代入すると 1 – 2 + 4 = 3 です。

以上より、正解は 5 です。

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類題 H26no2