公務員試験 H27年 国家一般職(土木) No.8解説

　問 題　　　　　

4人でじゃんけんを1回行うとき、2人だけが勝つ確率及びあいこになる確率の組合せとして正しいのはどれか。

ただし、4人はグー、チョキ、パーをそれぞれ1/3の確率で出すものとする。

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

【解法１　数え上げる】

以降、４人をA,B,C,Dと呼びます。Aがグー、チョキ、パーのどれを出そうが確率は変わらないはずです。そこで、Aがグーと固定して考えます。

残りのB,C,Dがそれぞれ３種類出す手があるので、3³ = 27 通りについて考えます。以下の表のようにまとめることができます。

2 人だけ勝つ確率は6/27 です。あいこの確率は13/27 です。

以上より、正解は 4 です。

【解法２（確率が好きだったり、いつもかけぐるってる人用）】

『２人だけ勝つ確率について』

勝つ２人の選び方は

A,B、A,C、A,D、B,C、B,D、C,D　

と６通り考えられます。

グーで勝つ、チョキで勝つ、パーで勝つという３通りを考えると

6×3/81
=18/81
=6/27 です。

正解は 4 or 5 です。

『あいこの確率について』

あいこの確率はスパッとはわかりません。そこで、じゃんけんのパターンを場に出た手の種類で分けると以下の３種類となります。

1. ４人とも３種類のうち１種類しか出さない=あいこ
2. ４人とも３種類のうち２種類しか出さない=誰かが勝つ
3. ３種類全てが手として出る=あいこ

です。簡単な場合として、パターン１から考えます。

【パターン１　１種類のみ】

ある一種類としてグー、チョキ、パーの３つがあります。

それぞれの場合について

(1/3)⁴
= 1/81

の確率で成立します。従って、パターン１が成立する確率は1/81 × 3 = 3/81 です。

【パターン2　2種類のみ】

2種類の選び方は、３つあります。すなわち

• 「グーとチョキ　のみ」
• 「グーとパー　のみ」
• 「チョキとパー　のみ」

の３つです。それぞれの場合について(2/3)⁴ で成立しそうですが、これでは「全員がグー」のような『１種類のみの場合』を含んだ確率となっていることに注意が必要です。

全員がグー→(1/3)⁴、全員がチョキ→(1/3)⁴ といった形で「2×(1/3)⁴」を引きます。

よって、それぞれの場合について

(2/3)⁴ ー2×(1/3)⁴
=14/81

の確率で成立します。

従って、パターン 2 が成立する確率は

14/81 × 3 = 42/81 です。

パターン１と２を合わせると45/81 なので、パターン３の確率は 36/81 です。

あいこの確率はパターン１とパターン３なので39/81=13/27 です。

正解は4 です。