公務員試験 H27年 国家一般職(土木) No.1解説

　問 題　　　　　

n を自然数とする。27！(27の階乗)が 3ⁿ で割り切れるとき、n の最大値はいくらか。

1. 9
2. 11
3. 13
4. 15
5. 17

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

27! とは、27×26×・・・×3×2×1 のことです。「問題文にわけのわからない数が出てきた」というパターンなので、

• 「１：具体的な数で考える」
• 「２：選択肢の活用を考える」

というアプローチで考えます。

まずは、n = 1 の時、3で割り切れるかと考えます。これは明らかに割り切れます。なぜなら、27 が3³ だからです。

そう考えると、27×26×・・・の中に「3^△」と直せる数字が何個あるかを考えれば答えがわかりそうです。

次に、選択肢に注目すれば、せいぜい ９～１７個とわかります。すでに27 = 3³ で３が３個みつかっているので、後は順に考えていけばなんとかなりそうです。

３の倍数に注目すればいいので、27から考えて「27,24,21,18,15,12,9,6,3」の９つの数字に注目します。

それぞれ素因数分解した時、３がいくつ含まれるかを考えると、「3,1,1,2,1,1,2,1,1」 です。全て足すと 13 個です。

以上より、正解は 3 です。