公務員試験 H26年 国家一般職(化学) No.3解説

　問 題　　　　　

底面が正三角形で体積が 54 である三角柱の表面積が最小となるときの、底面の一辺の長さはいくらか。

1．2
2．3
3．4
4．6
5．9

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

【解法１】
一辺 を a とおきます。正三角形の面積は √3/4 a² です。これは公式として覚えると良いです。体積が 54 なので、高さを h とおくと 54 = √3/4 a² × hです。よって
h = 54/(√3/4 a²)
= 72√3/a² です。

表面積は、「底面積×2 + 3×側面積」です。
2 ×（√3/4 a²）＋3 × a × 72√3/a²
= √3/2 a² + 216√3/a
= √3(a²/2 + 216/a) と表せます。よって、a²/2 + 216/a の最小値がわかればよいです。

正解は a = 2,3,4,6,9 のどれかなので、代入していきます。それぞれ、110 , 76.5 , 62 , 54 , 64.5 となります。従って、a = 6 の時最小です。正解は 4 です。
 
【解法２】
選択肢を活用します。
いきなり一辺２と仮定します。すると、底面積は√3 です。体積が 54 なので、高さが18√3 とわかります。側面積は 3 × (18√3 × 2) = 108√3 です。よって、表面積は 2√3 + 108√3 = 110√3 です。

以下、同様に一辺が 3,4,6,9 の場合の表面積を出していけば
a = 3 の場合
底面積9/4 √3、高さ 8√3、表面積 110√3

a = 4 の場合
底面積 4√3、高さ 9/2 √3、表面積 76.5√3 ・・・となり、 a = 6 の時最小とわかります。
 
※『総合職を受ける人用』
１：f(a) = a²/2 + 216/a とおき、微分して最小値を求める。216/a は、216×a^-1 とすれば、商の微分の公式不要。

微分すると
a² -216a^-2 となる。
a² -216a^-2 = ０ を解いて、a = 6。
 
２：相加・相乗平均の応用
f(a) = a²/2 + 216/aを
a²/2 + 108/a + 108/a とみなして考える。
1/3(a²/2 + 108/a + 108/a)≧₃√(a²/2 × 108/a × 108/a)
 等号成立は「a²/2 = 108/a」 の時。つまり、a³ = 216 。従って、a = 6 の時最小。