公務員試験 H26年 国家一般職(化学) No.1解説

 問 題     

sinθ+cosθ = a (aは定数) のとき、sinθcosθ 及び sinθ-cosθ の組合せとして正しいのはどれか。ただし0<θ<π/4とする。

 

 

 

 

 

正解 (1)

 解 説     

解法1【三角関数の知識を使う】
sinθ+cosθ = a の両辺を二乗します。ここで、sin2θ+cos2θ = 1 です。

(sinθ+cosθ)2 = a2
sin2θ+2sinθcosθ + cos2θ = a2
1 + 2sinθcosθ = a2
∴ sinθcosθ = a2 -1 /2 です。正解は 1 or 2 です。

また、sinθ – cosθ を直接求めることはできませんが 二乗すれば

(sinθ – cosθ)2
=sin2θ+cos2θ -2sinθcosθ
=1-2sinθcosθ
=1-2 ×(a2 – 1/2)
=1-(a2 -1)
=2-a2 なので、両辺を ±√ します。

sin θ ー cos θ は、0~π/4 で明らかに負なので、答えはー√ 2-a2 です。

以上より、正解は 1 です。

【解法2 具体的な数で考える】
θを、有名角である 30°とします。
sin30° = 1/2 = 0.5cos30° = √3/2 です。√3 ≒ 1.7 なので、cos30° ≒ 0.85 です。従って、a = sin30° + cos30° ≒ 0.5 + 0.85 ≒ 1.35 です。すると、a2 = (1.35)2 ≒ 1.8です。a2 – 1 ≒ 0.8 とわかります。(a2 – 1)/2 ≒ 0.4 です。

一方、sin30°cos30° = 1/2 × √3/2 ≒ 0.5 × 0.85 ≒ 0.4 です。従って、sin30°cos30° ≒ (a2 – 1)/2 です。正解は 1 or 2 です。

以下、選択肢 1,2 の検討をします。
θ = 30°の時、a2 ≒ 1.8 でした。よって、2-a2 ≒ 0.2 です。√0.2 は、大体 0.4~0.5 です。(√0.2 とは「二乗したら 0.2 になる数」です。0.42 = 0.16,0.52 = 0.25 なので、√0.2 は、0.4~0.5 ぐらいとわかります。)sin30°-cos30° ≒ 0.5 – 0.85 ≒ -0.35   だいぶ近いです。

一方、4-a2 = 2.2 なので、(4-a2)/2 ≒ 1.1 です。√をとってもほぼ 1 です。明らかに誤りです。

以上より、正解は 1 です。

コメント