公務員試験 H25年 国家一般職(電気・電子・情報) No.35解説

　問 題　　　　　

図Ⅰは、正の実数 a の正の平方根 √a の近似値を、方程式 x² = a の解として、ニュートン法によって求めるためのフローチャートである。近似解の修正値 h の絶対値が ε 未満になったときに、その近似解を出力して停止する。図Ⅰ中の㋐に当てはまるものとして最も妥当なのはどれか。

なお、ニュートン法は、図Ⅱのように、適当な初期値 x₀ から x₁ 、x₂ 、… を繰り返し計算することによって、方程式 f (x) = 0 の解 x_s の近似値を求める方法である。k + 1 番目の近似値 x_{k+ 1} は、k 番目の近似値 x_k から、y = f (x) の点 ( x_k、f (x_k) )  における接線と x 軸との交点 ( x_{k+ 1}、0 ) の x 座標として求められる。

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

x² = a を、右辺を 0 にすると x² – a = 0 です。問題文の図は y = x² – a のグラフと考えられます。すると、初期値 x₀ において、点の座標は (x₀、x₀² – a) です。この点における接線の傾きは、y’ = 2x より、2x₀ です。接線の式は y = 2x₀ x – x₀² – a と表すことができます。

接線の式において y = 0 を代入して x について解けば、x = (x₀² + a)/2x₀ です。 x₀ + h = (x₀² + a)/2x₀ を解くと h = (- x₀² + a)/2x₀ となります。

以上より、正解は 2 です。