問 題
「10 11」のように二つの連続する２桁の整数をそれぞれ２乗して足し合わせた数のうち一の位が３となるのはいくつあるか。
- 12
- 14
- 16
- 18
- 20
解 説
未知パターンの問題なので、具体的に簡単な数から考えていくことで規則性を探します。
2桁の連続する整数として一番小さいのは、10,11 の組です。2乗すると、それぞれ 100,121 です。足すと 221 です。11,12 の組ならば、2乗すると 121,144 で、足すと 265 で 5 です。
結局足した後の一の位のみに注目しているため、10,11 → 20,21 の組になっても、結局 400 + 441 = 841 で、1の位は 1 です。したがって、10の位が変わっても変化はないとわかります。
すると
10,11 →
11,12 →
12,13 →
13,14 →
14,15 →
15,16 →
16,17 →
17,18 →
18,19 →
19,20 →
の10通りさえ考えれば、後はそれを 9 倍すれば大丈夫そうです。
※ただし、99,100 の組だけは100 という３桁の整数が入ってしまうため、そこだけ気をつけます。
計算すればよいのですが、選択肢の中で 9 の倍数が 18 しかないので、正解は 4 としてもOKだと思います。
以下は10 通りについて計算した結果です。初めの→でそれぞれを２乗しています。次の→で、足した値の１の位を表しています。
10,11 →100,121 → 1
11,12 →121,144 → 5
12,13 →144,169 → 3
13,14 →169,196 → 5
14,15 →196,225 → 1
15,16 →225,256 → 1
16,17 →256,289 → 5
17,18 →289,324 → 3
18,19 →324,361 → 5
19,20 →361,400 → 1 です。
以上より、全部で 18 通り、正解は 4 とわかります。
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