公務員試験 H24年 国家一般職(土木) No.3解説

　問 題　　　　　

3 次関数 f (x) = ax³+bx²+cx+7 が、x = -3、 x = 2 で極値をとり、f ’ (0) = -36 を満たすように定数 a,b,c を求める。このとき、f(x) の極小値はいくらか。

1. -17
2. -27
3. -37
4. -47
5. -57

　解 説　　　　　

「極小、極大」というキーワードがあるので、f’ (x) をまず計算し、f’(x) = 0 の時の x をまず求めます。
f’(x) = 3ax²+2bx+c です。
f’(0) = -36 とあるので、c = -36 です。

さらに、x = -3,2 で極値をとると書いてあるので
x = -3,2 で、f’(x) は 0 になります。
f’(-3) = 27a -6b -36 です。これが 0 です。

同様に
f’(2) = 12a + 4b -36 です。これも 0 です。  

連立方程式
27a – 6b -36 = 0
12a +4b -36 = 0 を解きます。
a = 2,b = 3 です。

従って
f(x) = 2x³+3x²-36x+7 とわかります。
極小値というのは、極値の中で小さい方です。f(2) と f(-3) を計算してみると
f(2) = -37
f(-3) = 88 です。

以上より、極小値は -37 です。正解は 3 です。