問 題
△ABC の辺 AB,BC,CA 上にそれぞれ点 P,Q,R をとる。AP：PB = 2：3、BQ：QC = ３：４、CR：RA = ４：５であるとき△APQ と△ARQ の面積の比はいくらか。
△APQ：△ARQ
1. １ ： ２
2. ３ ： ５
3. 12 ： 25
4. 21 ： 50
5. 27 ： 50
正解 (5)
解 説
問題文の通り図を書くと、以下のようになります。
三角形の面積比に関する公式が以下になります。
これは基本的知識です。「高さが共通なので底辺の長さの比がそのまま面積比」ということです。
△ABC の面積を S とおくと、BQ：QC = ３：４より、△ABQ の面積が 3/7 S です。
次に、問われている三角形の１つである△APQ に注目します。面積比の公式より △APQ は、2/5 × △ABQ となります。さきほど △ABQ は、3/7S と出しています。代入すれば
△APQ
= 2/5 × 3/7S
= (6/35)S と表すことができます。
同様に、△ACQ の面積は 4/7 S です。
△ARQ の面積は、5/9 × △ACQ です。
従って、△ARQ
= 5/9 × 4/7 S
= (20/63)S となります。
以上より
△APQ：△ARQ
= (6/35)S ：(20/63)S
両辺の分母の最小公倍数である 315 をかければ
54S：100S
= 27：50 です。
従って、正解は 5 です。
コメント