公務員試験 H28年 国家一般職(土木) No.1解説

　問 題　　　　　

2次方程式x² + 5x + 7 = 0 の二つの解をα、β とするとき、（α² + 7α + 12）(β² + 7β + 12)の値はいくらか。

1. １
2. ２
3. ３
4. ４
5. ５

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

解と係数の関係より α＋β=−５、αβ=７　となります。この関係から、値を出します。とはいえ、問題の式はそのまま展開するとごちゃごちゃして計算が大変です。

α は与えられた２次方程式の解だから、代入すれば α^２＋５α＋７=０です。これを書き換えると α^２=−５α−７　です。　

βについても、全く同様に考えて、β² = −５βー7 です。

これらの関係を利用することで少しだけ次数が下がるので、計算を簡単にすることができます。

すなわち

（α² + 7α + 12）(β² + 7β + 12)
↔︎{(−５α−７) + 7α + 12}{(−５βー7) + 7β + 12}
↔︎（２α＋５）（２β＋５）

展開すると

↔︎４αβ＋１０（α＋β）＋２５

α＋β=−５、αβ=７　だったので

↔︎４×７＋１０×（−５）＋２５
↔︎３

以上より、正解は 3 です。