2022年 国家一般職(高卒 技術) No.1 数学　解説

　問 題　　　　　

2 次方程式 x² – 13 x + k = 0（k は定数）の解の一つが x = 5 である。このとき、もう一つの解はいくらか。

1．6
2．7
3．8
4．9
5．10

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

【解法１：因数分解を用いる】
解の１つが５なので、(x – 5)(x – ?) と因数分解できると読み替えます。すると 与えられた式における x の係数が「－１３」になっているので、？＝８です。つまり、もう１つの解は x = 8 です。

ちなみにこの時、２次方程式 x² – 13 x + k = (x – 5)(x – 8) なので、係数比較すれば k = 40 であることもわかります。

【解法２：解の１つを代入して k を求めてから考える】
解の１つが５なので、x = 5 を代入してみます。すると 52 ー 13 × 5 + k = 0 ∴ k = 40 です。改めて２次方程式を見ると x² – 13 x + 40 = 0 です。左辺を因数分解すれば (x – 5)(x – 8) なので、もう１つの解は x = 8 です。

因数分解が思いつかなければ、２次方程式における解の公式：x = -b±√(b²-4ac)/2a で解いてもかまいません。 x = (13 ± √(13² – 4 × 40))/2 = (13 ± 3)/2 となります。

以上より、正解は 3 です。

類題 H30 no1 解と係数の関係