問 題
Ａ，Ｂ，Ｃ の 3 人が徒競走を 4 回行った。徒競走を 1 回行うごとに， 1 位になった人は，他の 2 人から 1 位になった人が持っているのと同じ枚数のメダルをそれぞれ受け取る約束をした。次のことが分かっているとき，初めにＢが持っていたメダルは何枚か。ただし，同着はなかったものとする。また， 1 位になった人は常に約束どおりの枚数のメダルを受け取ったものとする。
○ 1 回目の徒競走では，Ｂが1 位になった。
○ 2 回目と3 回目の徒競走では，Ａが1 位になった。
○ 4 回目の徒競走では，Ｃが1 位になり，ＡとＢからそれぞれ 27 枚のメダルを受け取った。その結果，ＡとＢのメダルはちょうどなくなった。
1． 11 枚
2． 13 枚
3． 15 枚
4． 17 枚
5． 19 枚
解 説
１位の人のメダルが ３倍になるゲームです。初期状態の A,B,C のメダルを A0、B0、C0 とします。
１回目の徒競走の結果、B のメダルは３倍になり、A,C のメダルは B0 だけ減ります。まとめると、以下のようにメダルの所持数が推移します。
２，３回目で A が 1 位になることから、A のメダルは、１回目終了後から見て９倍になります。そして、次の４回目で C が１位になり、A が 27 枚メダルを C にわたしてちょうどなくなることから、３回目の徒競走が終わった時点で A は 27 枚メダルを有しています。逆に考えれば、１回目の徒競走が終わった時点での A のメダルは 27 ÷ 9 = 3 枚とわかります。ここまでを表にしてみると、以下のようになります。
A の列が具体的数で埋まったため、２回目競争後の B は ３B0 ー３、３回目競争後の B は ３B0 ー 12 と表すことができます。
３回目競争後時点で B は、A と同じく 27 枚有していなければなりません。つまり、３B0 ー 12 = 27 です。従って、B0 = 13 とわかりました。
以上より、正解は 2 です。
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