問 題
図のようなブロック線図で示す制御系がある。出力信号C(jω)の入力信号R(jω)に対する比、すなわち
を示す式として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
解 説
求めたい伝達関数は出力信号 C(jω) の入力信号 R(jω) に対する比であるため、 C(jω) を R(jω) で表す関係式を導きます。
ブロック線図のままでは関係を捉えにくいため、下の図のように引き出し点および各加算点の間の信号を A(jω) および B(jω) と定義して考えます。
まず、出力信号 C(jω) に着目します。出力 C(jω) は B(jω) と上側のフィードフォワード経路からくる信号の和となります。ここで、 B(jω) は A(jω) に 1/(jωT2) を掛けたものであり、上側からくる信号は A(jω) に T1/T2 を掛けたものであるため、次のように表されます。
\begin{aligned} C(j\omega) &= B(j\omega) + A(j\omega) \times \frac{T_1}{T_2} \\[12pt] &= A(j\omega) \times \frac{1}{j\omega T_2} + A(j\omega) \times \frac{T_1}{T_2} \\[12pt] &= \left( \frac{1}{j\omega T_2} + \frac{T_1}{T_2} \right) A(j\omega) \quad \cdots(1) \end{aligned}
次に、中間信号 A(jω) に着目します。最初の加算点において左側からの入力信号 R(jω) にプラス、下側からのフィードバック信号 B(jω) にマイナスが付いているため、 A(jω) は R(jω) から B(jω) を引いたものとなります。
\begin{aligned} A(j\omega) &= R(j\omega) – B(j\omega) \\[12pt] &= R(j\omega) – A(j\omega) \times \frac{1}{j\omega T_2} \quad \cdots(2) \end{aligned}
この式を A(jω) について整理します。
\begin{aligned} & A(j\omega) = R(j\omega) – A(j\omega) \times \frac{1}{j\omega T_2} \\[12pt] & \Leftrightarrow \left( 1 + \frac{1}{j\omega T_2} \right) A(j\omega) = R(j\omega) \\[12pt] & \Leftrightarrow A(j\omega) = \frac{1}{\displaystyle \frac{j\omega T_2 + 1}{j\omega T_2}} R(j\omega) \\[12pt] & \Leftrightarrow A(j\omega) = \frac{j\omega T_2}{1 + j\omega T_2} R(j\omega) \quad \cdots(3) \end{aligned}
そして、導いた(2)式を(1)式へ代入すれば、 C(jω) と R(jω) の関係式が作れます。
\begin{aligned} C(j\omega) &= \left( \frac{1}{j\omega T_2} + \frac{T_1}{T_2} \right) \times \frac{j\omega T_2}{1 + j\omega T_2} R(j\omega) \quad \cdots(4) \end{aligned}
よって、求める比 C(jω) / R(jω) は次のように計算できます。
\begin{aligned} \frac{C(j\omega)}{R(j\omega)} &= \left( \frac{1}{j\omega T_2} + \frac{T_1}{T_2} \right) \times \frac{j\omega T_2}{1 + j\omega T_2} \\[12pt] &= \frac{1 + j\omega T_1}{j\omega T_2} \times \frac{j\omega T_2}{1 + j\omega T_2} \\[12pt] &= \frac{1 + j\omega T_1}{1 + j\omega T_2} \quad \cdots(5) \end{aligned}
以上から、正解は(4)となります。
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