問 題
x が実数のとき、次の命題 ㋐、㋑、㋒ のうち真であるもののみを全て挙げているのはどれか。
㋐ x2 = 2 ならば x = √2 である。
㋑ x < -1 ならば 1/x < -1 である。
㋒ (x2+ 1) x = 0 ならば x = 0 である。
1．㋐
2．㋐、㋑
3．㋑
4．㋑、㋒
5．㋒
正解 (5)
解 説
命題とは「◯◯ならば、△△である」という形式の文章のことです。
◯◯の部分を変形していって、うまく△△に同値変形できれば、真です。
反例があれば偽です。
㋐ですが
x2 = 2 を解くと、 x = ±√2 です。
つまり、反例として x = -√2 があげられます。よって偽です。
㋑ですが
x < -1 は変形するのが難しいので、具体例を考えてみます。
x = -2 としてみましょう。すると 1/x の x に－２を代入すれば ー1/2 です。これは－１よりも大きいです。従って、反例がみつかったので偽です。
㋒は真です。
かけて０なら、どちらかが０です。つまり x2 + 1 = 0 or x = 0 です。
前提条件として実数とあるため x2 ≧ 0 です。
このため x2 + 1 は０ではありません。従って、x = 0 となります。
以上より、正解は 5 です。
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