公務員試験 H30年 国家一般職(土木) No.15解説

　問 題　　　　　

図のように，直径 d の半円筒面 AB を含む滑らかな曲面が，水平面に固定されている。曲面上の十分高い位置から小球 P を静かに放すと，小球 P は曲面を滑り落ちた後に半円筒面 AB で円軌道を描いて点 A から飛び出す。

いま，小球 P が点 A から飛び出すような，最小の高さにある点 C から小球 P を静かに放した。このとき，点A における小球 P の速さとして最も妥当なのはどれか。

ただし，重力加速度の大きさを g とする。

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

「円軌道を描いて飛び出す」ため、飛び出す瞬間まで円運動をしていなければいけない　という点がポイントです。

なんとなく、高さ d からボールを転がせば、B 点で 位置エネルギーが全て運動エネルギーになり、またA 点で運動エネルギーが全て位置エネルギーになればよいような気がするのではないでしょうか。

しかしそれでは A 点に到達して、v = 0 だから、後は真下に落っこちるだけです。滑り台のラストを思い出すとイメージしやすいのではないかと思うのですが、勢いのままシュッと飛び出すような速度が必要となります。

まず「小球 P が点 A から飛び出すような最小の高さ」について考えます。点A,B での速度を V_A,V_B とおけば、力学的エネルギー保存則より、m(V_B)²/2 = mgd + m(V_A)²/2 です。

円運動をする場合「向心力」が働きます。
向心力は質量と速さを用いて、mV²/(d/2) = 2mV²/d です。これは A 点においては『垂直抗力＋重力』です。A 点における垂直抗力を N_A とおけば、N_A + mg です。よって、2m(V_A)²/d = N_A + mg です。

円運動するとは、N_A≧0 と解釈することができます。

以上より、 V_B ≧√5g(d/2) を導くことができます。 （この問題は d/2 = r として、「√5gr」 が、このパターンの最低限必要な速度ということを「基礎知識」として知っている前提の問題である気もします。余裕があればぜひ知識としておさえておきましょう！）

従って、最小値は V_B = √5g(d/2) です。つまり、V_B² = 5gd/2 です。従って、B 地点で 5mgd/4 の運動エネルギーを有します。この運動エネルギーを有するような最小の高さは 「5d/4」 です。

高さ 5d/4 からボールを離し、一回転して点 A にいる時、位置エネルギーが U_A = mgd なので、mgd/4 = mV_A²/2 が成立します。∴V_A² = gd/2 ∴V_A = √gd/2 です。

以上より、正解は 5 です。