問 題
図のような四角錐の頂点 A から出発し、四角錐の辺上を通って頂点を次々に移動する経路を考える。
ある頂点から辺で結ばれた隣の頂点のいずれかへの移動を 1 回の移動とし、1 回の移動では最短経路をとるものとする。このとき、頂点 A から 4 回の移動を終えた時点で頂点 A にいるような移動経路の数は全部でいくつか。
1．8
2．16
3．24
4．32
5．40
解 説
選択肢から、せいぜい 40 通りなので、最悪数え上げようと考えます。A と A 以外の４つの頂点に分けると考えやすいです。
まず、点が１回移動する場合について、以下のように場合分けができます。
１：【A→A以外への移動】
A → A以外 は、100% 移動します。この移動は移動先が B,C,D,E なので「４通り」考えられます。
２：【A以外→Aへの移動】
これは 1 通りです。
３：【A 以外 → A 以外への移動】
これは２通り考えられます。
これをふまえ、４回の移動を、１回めから順に考えてみます。
【１回めの移動】
A→A以外なので４通り考えられます。
【２回めの移動（１）】
A 以外 → A と２回めに移動したとします。すると３回めの移動が、A→A以外と確定します。４回めに A にいるためには、A以外→A→A以外→A と移動しなければならないからです。このパターンは、１×４×１=４通りです。１回めの移動が４通りあったので、全パターンは、４×４=１６通りです。
【２回めの移動（２）】
A 以外 → A 以外と２回めに移動したとします。すると、３回めの移動で A に行ってしまうとどうしても４回めの移動で、A以外に行ってしまいます。従ってA以外→A以外→A以外→A と移動しなければなりません。このパターンは、２×２×１=４通りです。１回めの移動が４通りあったので、全パターンは、４×４=１６通りです。
以上より、合わせて３２通りです。正解は 4 です。
ちなみに、全てのパターンをあげてみると
A→B→A→B→A
A→B→A→C→A
A→B→A→D→A
A→B→A→E→A
A→C→A→B→A
A→C→A→C→A
A→C→A→D→A
A→C→A→E→A
A→D→A→B→A
A→D→A→C→A
A→D→A→D→A
A→D→A→E→A
A→E→A→B→A
A→E→A→C→A
A→E→A→D→A
A→E→A→E→A
A→B→C→B→A
A→B→C→D→A
A→B→E→B→A
A→B→E→D→A
A→C→B→C→A
A→C→B→D→A
A→C→D→C→A
A→C→D→E→A
A→D→C→B→A
A→D→C→D→A
A→D→E→B→A
A→D→E→D→A
A→E→B→C→A
A→E→B→E→A
A→E→D→E→A
A→E→D→C→A です。
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