公務員試験 H29年 国家一般職(化学) No.3解説

　問 題　　　　　

xy 平面上の点 (1、－1) から、曲線 y = 1/3 x³ ー x に傾きが正の接線を引いたときその傾きの値として正しいのはどれか。

1. 1/2
2. 3/4
3. 5/4
4. 3/2
5. 7/4

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

【解法１　大雑把な評価で選択肢を絞る】
y = 1/3 x³ ー x のグラフを、できるだけ正確に書きます。x = 0 の時、y = 0 です。また、右辺は

とかけるので、x = ±√3 の時も y = 0 です。以上を参考にして、下図のようになります。

赤い線が接線です。すると、接線の傾きは「(1,-1)と(√3,0)」を結ぶ直線よりも少し小さい傾き　と評価できます。

√3 ≒ 1.7 です。従って「(1,-1)と(√3,0)」を結ぶ直線　は、右に 0.7 進んで、上に 1 上がる直線です。この傾きは、1/0.7≒ 1.4 です。これより少し小さい傾きとなれば選択肢の中では 5/4 となります。

以上より、正解は 3 です。
 
【解法2 微分で求める】
y = 1/3 x³ ー x を微分すると
y’ = x² ー 1 です。

接点を（t,1/3 t³ ー t）とおきます。接線の傾きは (t² ー 1) とかけます。接線の式は
l：y = (t² ー 1) x ＋β　とおくことができ、点（t,1/3 t³ ー t）を通ることから、β = ー2/3 t³ とわかります。

改めて、接線の式は
l：y = (t² ー 1) x ＋(ー2/3 t³)　です。

点（1,-1）を通る時
－１=(t² ー 1)  ー2/3 t³　が成り立ちます。

ー2/3 t³ + t² = 0
ー2/3 t + 1 = 0　∴ t = 3/2 です。
※ここで正解が 4 と間違えないように！
※この t は接点の x 座標です。傾きではありません。

接線の傾きは
(3/2)² ー１ = 9/4 ー１ = 5/4 です。

以上より、正解は 3 です。