公務員試験 H28年 国家一般職(土木) No.5解説

　問 題　　　　　

tanθ=3のとき

の値はいくらか。

1. 30
2. 40
3. 50
4. 60
5. 70

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

式は分母が違う足し算、つまり 2/3 + 2/5 みたいなものなので、まずは通分してみます。

解法１【1-sin²θ に注目する】

「sin²θ+cos²θ = 1」　より 1-sin²θ = cos²θです。tanθとcosθの関係といえば、1+tan²θ = 1/cos²θ　です。

tanθ = 3 なので、1+3² = 1/cos²θです。

よって

10 = 1/cos²θ・・・（１）　です。

求めるのは 4/cos²θなので（１）の両辺を４倍すれば、４０となります。

正解は 2 です。

解法２【tanθがわかっているので直角三角形を考える】

tanθ = 3をみたす直角三角形とは、直角をなす２辺の比が１：３ということです。すると斜辺の長さは√１０とわかります。三辺の長さがきまればsinθを求めることができます。

sinθ = 3/√10 です。

求めたいのは 4/(1-sin²θ) です。sinθ = 3/√10 なので、sin²θ = 9/10 です。1-sin²θ = 1/10 となります。

従って、

4/(1-sin²θ)
=4/(1/10)
=40 です。

正解は 2 です。