公務員試験 H27年 国家一般職(化学) No.3解説

　問 題　　　　　

xy 平面上において、tを媒介変数として、x = 2t²＋1、y = 3t²＋2t＋1 で表される 曲線上にある点 (3,2) における接線の傾きはいくらか。
 
1．1
2．2
3．3
4．4
5．5

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

【解法 1：パラメータ表示の微分】
接線の傾きは dy/dx です。これを（dy/dt) / (dx/dt) と考えます。dx/dt = 4t です。dy/dt = 6t+2 です。従って、dy/dx = (6t+2)/4t・・・（１）と表すことができます。
点（3,2）というのは、t = -1 の時の値です。（１）に、t = -1 を代入して、-4/-4 = 1 です。
 
【解法 2：具体的な点を考えて推測】
解法１を知らなくても、ぜひこの問題は具体的な点から、少しでも選択肢をしぼりたい所です。

t = 0 の時、（1,1）です。
t = 1 の時、（3,6）です。
t = -1 の時、（3,2）です。
（↑これが求めたい接線の接点とわかります。）
t = -2 の時、（9,9）です。

これらの点を、t が－２から－１，０，１と変化していったと考えて順々に滑らかにつなぐと以下のようになります。

赤の点線が、大雑把な接線の雰囲気となります。選択肢から、傾きの候補は 1,2,3,4,5 です。1 が一番近そうと判断できると思います。

以上より、正解は 1 です。