公務員試験 H26年 国家一般職(土木) No.3解説

　問 題　　　　　

底面が正三角形で体積が54である三角柱の表面積が最小となるときの底面の一辺の長さはいくらか。

1. 2
2. 3
3. 4
4. 6
5. 9

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

【解法１】

一辺 を a とおきます。正三角形の面積は √3/4 a² です。これは公式として覚えると良いです。

体積が 54 なので高さを h とおくと、54 = √3/4 a² × hです。よって、

h = 54/(√3/4 a²)
= 72√3/a² 

です。

表面積は、底面積×2 + 3×側面積です。

2 ×（√3/4 a²）＋3 × a × 72√3/a²
= √3/2 a² + 216√3/a
= √3(a²/2 + 216/a)

と表せます。よって、a²/2 + 216/a の最小値がわかればよいです。

正解は a = 2,3,4,6,9 のどれかなので代入していきます。それぞれ、110,76.5,62,54,64.5 となります。

従って、a = 6 の時最小です。

正解は 4 です。

【解法２】

選択肢を活用します。いきなり一辺２と仮定します。すると、底面積は√3 です。体積が 54 なので、高さが18√3 とわかります。側面積は (2+2+2)×18√3=108√3です。

よって、表面積は 2√3 + 108√3 = 110√3 です。

以下、同様に一辺が 3,4,6,9 の場合の表面積を出していけば、

a = 3 の場合

• 底面積9/4 √3
• 高さ 8√3
• 表面積 110√3

a = 4 の場合

• 底面積 4√3
• 高さ 9/2 √3
• 表面積 76.5√3

・・・となり、 a = 6 の時、最小とわかります。

『総合職を受ける人用』

１：f(a) = a²/2 + 216/a とおき、微分して最小値を求める。216/a は、216×a^-1 とすれば商の微分の公式不要。微分すると a² -216a^-2 。=０解いて、a = 6。

２：相加・相乗平均の応用

f(a) = a²/2 + 216/aを a²/2 + 108/a + 108/a とみなして考える。a²/2 = 108/a の時が最小なのでa³ = 216。つまり、a = 6 の時最小。