公務員試験 H25年 国家一般職(土木) No.1解説

　問 題　　　　　

複素数 α  = 1-√3i (i は虚数単位)において、αⁿ が実数となるための正の整数 n の条件として正しいのはどれか。ただし選択肢において、 k は正の整数とする。

1. n = 3k – 1
2. n = 3k
3. n = 4k – 1
4. n = 4k
5. n = 4k + 1

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

【解法１】

具体的に考えます。複素数についての知識がなくても解ける問題です。
※i² = -1 だけ必要。

α² = (1-√3i)(1-√3i)
= 1 ー 2√3i ー 3
= －2ー2√3i です。

α³ = (ー2ー2√3i)(1 – √3i)
= ー2 +2√3i ー2√3i ー6
= －８です。

従って、n = 3 の時実数なので正解は 選択肢 2 or 3 です。そして、α³ = －８ならα⁶ = (α³)² = 64 です。従って、n = 6 の時も成り立ちます。

以上より、正解は 2 です。

【解法２】

α = 2(cos(-60°)＋sin(-60°)）と極形式表示すれば、ド・モアブルの定理より

αⁿ = 2n(cos(-60n°)＋i sin(-60n°))

これが実数ならば、sin(-60n°)が0。従って、n = 3k です。

以上より、正解は 2 です。