公務員試験 H24年 国家一般職(土木) No.17解説

　問 題　　　　　

温度 T [K] の理想気体 n [mol] を、最初の体積の 2 倍になるまでゆっくりと等温膨張させたとき、気体がした仕事として最も妥当なのはどれか。

ただし、気体定数を R[J/mol・K] とする。

1. 1/2 nRT
2. nRT ln2
3. nRT
4. 3/2 nRT
5. 2nRT

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

理想気体というキーワードが出たらまず 状態方程式『pv = nRT』 を思い出します。p （pressure）は圧力、v （volume）は体積、T （Temperature）は絶対温度。Tの単位は K（ケルビン）です。

※ 摂氏○℃＝絶対温度(○＋273)K。n は物質量、R は気体定数です。基本的に定数と考えれば問題ありません。

本問では、最初の体積を V₁ とすれば、２倍の体積、つまり 2V₁ まで等温膨張させています。この時の気体がした仕事ですが仕事ときたら、まずは「力×距離」です。気体なので「圧力×体積変化」と読み直します。すなわち P × dV です。

ここで、PV = nRT より P = nRT/V と書き直すことができます。n,R は定数です。さらに等温膨張なので、Tも定数です。従って、nRT/V とは、1/V のようなものです。P を、Vを変数とした式で表せました。

以上より、求める仕事を計算します。

∫ P dv　
=∫ (nRT/V) dv　※PV  = nRT より。
=nRT ∫ 1/V dv　※nRT は定数なので外へ。
→nRT lnV です。※∫ 1/V = lnV なので。　

V は V1 → 2V1 なので、定積分として計算すれば
［nRT lnV］V=2V1 V=V1
→nRT ln(2V1)　ー　nRTln(V1)
= nRT ln(2V1/V1)　※ln の引き算は、中身の割り算。
= nRT ln2 です。

以上より、正解は 2 です。