2019 (R1) 年 国税専門官 情報数学 No.63 解説

　問 題　　　　　

a、b を 1 以上 5 以下の整数とする。x についての 2 次方程式 x² + ax + b = 0 が整数解をもつような組 (a，b) はいくつあるか。

1． 2 組
2． 3 組
3． 4 組
4． 5 組
5． 6 組

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

【解と係数の関係】
方程式の解 2 つを α、β とおきます。x² + ax + b = (x － α)(x － β) と因数分解できます。解と係数の関係より、－(α + β) = a、αβ = b です。

【解 α、β が 2 つとも整数であることの確認】
解 α だけが整数で、解 β は整数ではなかったとします。b が整数なので、αβ = b となる場合、β = b/α (α と b は約分できない) と表せます。ところがそうすると、α + β = α + b/α となります。これは分数です。「a が整数」という条件と矛盾します。

従って
解は 2 つとも整数です。

【2 つの整数解として、解と係数の関係を考える】
整数解 2 つを Z₁、Z₂ とおきます。
x² + ax + b = (x － Z₁)(x － Z₂) と変形できます。

解と係数の関係より
－(Z₁ + Z₂) = a  ※a は符号が正 → Z₁ + Z₂ < 0・・・(1)
Z₁Z₂  = b です。

【b について具体的に検討】
b = 1 の場合を考えます。
Z₁Z₂  = 1 → 『Z₁ = 1、Z₂ = 1』or 『Z₁ = -1、Z₂ = -1』です。
(1) より Z₁ = -1、Z₂ = -1 です。すると、(a,b) = (2,1) です。

以下、同様に b = 2 の場合
Z₁ = -1、Z₂ = -2 です。(逆でも OK.) 　すると、(a,b) = (3,2)

b = 3 の場合
Z₁ = -1、Z₂ = -3 です。(逆でも OK.)　すると、(a,b) = (4,3) 

b = 4 の場合
Z₁ = -1、Z₂ = -4 (逆でも OK.)、Z₁ = -2、Z₂ = -2  すると、(a,b) = (5,4)、(4,4)

b = 5 の場合
Z₁ = -1、Z₂ = -5 (逆でも OK.)ですが、a = 6 になってしまうため、不適切です。

従って
(a,b) の組は「５通り」です。※選択肢は「4」になる点に気をつけましょう！

以上より、正解は 4 です。