公務員試験 2023年 国家一般職(土木) No.6 解説

　問 題　　　　　

次のように定められた数列 {a_n}の第 50 項 a₅₀ の値はいくらか。

a₁ = -1，a_n+1 – a_n = 2n – 3　　(n = 1,2,3,…)

1． 2300
2． 2302
3． 2304
4． 2306
5． 2308

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

n = 1 を代入すると
a₂ – a₁ = -1、a₂ = a₁ – 1 = -2

n = 2 を代入すると
a₃ – a₂ = 1、a3 = a₂ + 1 = -1

n = 3 を代入すると
a₄ – a₃ = 3、a₄ = a₃ + 3 = 2

次に足すのは 5 なので a₅ = 7
次に足すのは 7 なので a₆ = 13
次に足すのは 9 なので a₇ = 22

…

このまま a₅₀ まで求めてもよい問題です。

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足していく値に注目すると
-1 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … です。最後に足すのは n = 49 を代入した 95 です。

-1 + 1 + 3 + … + 93 + 95…(1)　
は初項 -1、公差 2、項数 49 の等差数列の和です。

(1) = 94 × 49/2
= 47 × 49
= 2303 です。 

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ちなみに、規則性を見つけたらそれでも OK です。

初項 -1 で
第 2 項まで足すのは -1
第 3 項まで足すのは -1 + 1 = 0
第 4 項まで足すのは -1 + 1 + 3 = 3
第 5 項まで足すのは -1 + 1 + 3 + 5 = 8
第 6 項まで足すのは -1 + 1 + 3 + 5 + 7 = 15

…

第 n 項まで足すのは
(n – 2)² – 1 と表せる。n = 50 を代入すれば 48² -1 = 2303 となります。

求めたい
a50 = -1 + 2303 = 2302 です。

以上より、正解は 2 です。