公務員試験 2022年 国家一般職(土木) 工学に関する基礎 No.5 解説

　問 題　　　　　

x² – 8x +10 + 2y = 0 を満たす正の整数の組 (x，y) は三つある。これら三つの組を xy 平面上の点 A，B，C として表したとき、△ABC の面積はいくらか。

1． 1
2． 2
3． 4
4． 8
5． 12

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

具体的な数で考えます。
x = 1 を代入してみると 3 + 2y = 0 です。
y = -1.5 となり、y は自然数ではありません。

x = 2 を代入すると -2 + 2y = 0 → y = 1
(2,1) が 、条件を満たす 3 つのうち 1 つです。

このまま x を増やしていって
(4,3)、(6,1) が見つかるまで探すとよいです。

ちなみにですが
自然数 x を代入した時に x² – 8x + 10 が 負の値でなくては、y の値が 正になりません。

また 自然数 x を代入した時に
x² – 8x + 10 が偶数でないと、y の値が整数にならないことにも気づくかもしれません。

これらをふまえ
x² – 8x + 10 = (x – 4)² – 6 なので x = 4,6 の時に それぞれ (x,y) = (4,3)、(6,1) が該当すると見つけるのも、自然な流れです。

条件を満たす 3 点が (2,1)、(4,3)、(6,1) とわかれば、△ の面積は「底辺 4、高さ 2 の三角形の面積」です。従って、面積は 4 × 2 ÷ 2 = 4 です。

以上より、正解は 3 です。